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Formelsammlung und Berechnungsprogramme
Maschinen- und Anlagenbau

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Update:  12.11.2020

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Umfassende Informationen, leichte Verständlichkeit und schnelle Nutzbar­keit der Auslegungs- oder Berechnungsgleichungen ermöglichen die sofortige Dimensionierung von Bauteilen.




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Festigkeitsberechnungen Pressung - Platten - Knickung

Pressung

Flächen- und Lagerpressung

Flächenpressung
Flächenpressung
Flächenpressung


Lagerpressung
Lagerpressung
Lagerpressung


p  = Fl√§chenpressung (N/mm¬≤)
F   = Belastung (N)
b   = Breite (mm)
l   = L√§nge (mm)
d   = Lagerdurchmesser (mm)
p  = Fl√§chenpressung (N/mm¬≤)
F   = Belastung (N)
b   = Breite (mm)
l   = L√§nge (mm)
d   = Lagerdurchmesser (mm)
Zulässige Pressungswerte N/mm² - [1]
Werkstoffart ruhende Belastung schwellende Belastung
Zähe
Werkstoffe
zul. Pressung zul. Pressung
Spröde
Werkstoffe
zul. Pressung zul. Pressung

σdF = Druck Flie√ügrenze (N/mm¬≤)
σ dB = Bruchfestigkeit (N/mm¬≤)

[1] B. Schlecht - Maschinenelemente Tabellen und Formelsammlung Band 3

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Hertzsche Pressung -

Die Hertzsche Pressung ist g√ľltig bei:
- lineare, elastische, homogene und isotrope Werkstoffe
- Kontaktfl√§che eben und klein gegen√ľber den Abmessungen der K√∂rper
- Reibungsfreiheit, keine Schubspannung in der Kontaktfläche
Festigkeitswerte f√ľr Hertzsche Pressung

Punktber√ľhrung Kugel - Kugel


Punktpressung
Punktpressung
bei Stahl mit μ = 0,3
Punktpressung
Radius
E_Modul
Ber√ľhrungsfl√§che

Punktpressung
Ber√ľhrungsfl√§che
bei Stahl mit μ = 0,3
Ber√ľhrungsfl√§che
Gesamtabplattung - Näherung der beiden Körper
Abplattung
Punktber√ľhrung Kugel - Ebene
Punktpressung
Bei der Ebene wird r2 ∞ somit wird r = r1


Punktber√ľhrung Kugel - konkave Fl√§che
Punktpressung
Radius r2 wird negativ r2 < 0


p0 = Druck in der Mitte der Ber√ľhrungsfl√§che - (N/mm¬≤)
r 1,2 = Kr√ľmmungsradius K√∂rper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Radius der Druckfl√§che (mm)
δ   = Gesamtabplattung (mm)
>
p0 = Druck in der Mitte der Ber√ľhrungsfl√§che - (N/mm¬≤)
r 1,2 = Kr√ľmmungsradius K√∂rper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Radius der Druckfl√§che (mm)
δ   = Gesamtabplattung (mm)
>
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Linienber√ľhrung Zylinder - Zylinder


Linienpressung
Linenpressung
Radius
E_Modul
Ber√ľhrungsfl√§che

Linienpressung
Ber√ľhrungsfl√§che
bei Stahl mit μ = 0,3
Ber√ľhrungsfl√§che
Punktber√ľhrung Zylinder - Ebene

Linienpressung
Bei der Ebene wird r2 ∞ somit wird r = r1
Formeln gleich wie bei Zylinder - Zylinder

p0 = Druck in der Mitte der Ber√ľhrungsfl√§che - (N/mm¬≤)
r 1,2 = Kr√ľmmungsradius K√∂rper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Halbe Breite der Druckfl√§che (mm)
l   = L√§nge der Druckfl√§che (mm)
p0 = Druck in der Mitte der Ber√ľhrungsfl√§che - (N/mm¬≤)
r 1,2 = Kr√ľmmungsradius K√∂rper 1,2 (mm)
F   = Druckbelastung (N)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-)
E 1,2 = E-Modul Körper 1,2 (mm)
a   = Halbe Breite der Druckfl√§che (mm)
l   = L√§nge der Druckfl√§che (mm)


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Platten

Die folgenden Gleichungen f√ľr Platten sind nur g√ľltig unter der Voraussetzung
- Plattendicke klein zur Flächenabmessung
- Durchbiegung klein zur Flächenabmessung

Rechteckplatte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Rechteckplatte aufliegend

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Eckkräfte
Eckkräfte
Eingespannter Rand

Rechteckplatte eingespannt

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
max. Spannungen Mitte am langen Rand
Spannungen
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a  = Halbe Plattenl√§nge (lange Seite) (mm)
b  = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm¬≤)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm¬≤)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm¬≤)
f  = Durchbiegung (mm)
F  = Eckkr√§fte (N)
C1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgef√ľhrtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a  = Halbe Plattenl√§nge (lange Seite) (mm)
b  = Halbe Plattenbreite (kurze Seite) (mm)
h  = Plattendicke (mm)
E  = E-Modul (N/mm¬≤)
σx = Spannung in x-Richtung (N/mm¬≤)
σy = Spannung in y-Richtung (N/mm¬≤)
f  = Durchbiegung (mm)
F  = Eckkr√§fte (N)
C1,...g,e = Konstante (-)
Bei unten aufgef√ľhrtem Berechnungsprogramm werden die Konstanten ausgegeben.
nach oben

Kreisplatte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Kreisplatte aufliegend

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Eingespannter Rand

Kreisplatte eingespannt

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Spannungen am Rand
Spannungen
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
nach oben

Kreisplatte mit Belastung in der Kreismitte

Gelenkig gelagert Rand

Kreisplatte aufliegend
Spannungen Plattenmitte
Belastung p
Spannung
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung

Eingespannter Rand

Kreisplatte eingespannt
Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Spannungen am Rand
Spannungen
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
F   = Kraft aus der Fl√§chenbelastung (N)
b   = Belastungsradius (mm)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
F   = Kraft aus der Fl√§chenbelastung (N)
b   = Belastungsradius (mm)
R   = Plattenradius (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)

nach oben

Elliptische Platte mit gleichmäßiger Belastung

Randbedingung
a > b ( a = X-Richtung - b = Y-Richtung )

Eingespannter Rand
Ellipse eingespannt

Spannungen Plattenmitte
Spannungen
Spannungen
Durchbiegung Plattenmitte
Durchbiegung
Spannungen am Ende der kleinen Achse
Spannungen
Spannungen am Ende der großen Achse
Spannungen
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a   = gro√üe Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a   = gro√üe Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
nach oben

Gleichseitige Dreieck-Platte mit gleichmäßiger Belastung

Gelenkig gelagert Rand

Dreieckplatte aufliegend

Plattensteifigkeit
Spannungen
Spannung im Plattenschwerpunkt
Spannungen
Durchbiegung im Plattenschwerpunkt
Durchbiegung
Max. Spannungen tritt bei x=0,129*a und y=0 auf
Spannungen
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a   = gro√üe Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)
p  = Fl√§chenbelastung (N/mm¬≤)
a   = gro√üe Halbachse (mm)
b   = kleine Halbachse (mm)
h   = Plattendicke (mm)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
μ   = Querzahl (Poisson-Zahl) (-) (N/mm¬≤)
σ x = Spannungen in X-Richtung (N/mm2)
σ y = Spannungen in Y-Richtung (N/mm2)
f   = Durchbiegung (mm)


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Scheibe

Bei Scheiben handelt es sich um Flächentragwerke, die in ihrer Ebene belastet werden.

Kreisscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast


Kreisscheibe

Spannungen
Spannungen
q  = Streckenlast (N/mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
q  = Streckenlast (N/mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)

Kreisringscheibe mit gleichmäßiger Streckenlast außen und innen


Kreisringscheibe

Spannungen
Spannungen
qa = Streckenlast außen (N/mm)
q i = Streckenlast innen (N/mm)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
qa = Streckenlast außen (N/mm)
q i = Streckenlast innen (N/mm)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
h   = Scheibendicke (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
nach oben

Kreisringscheibe mit Schubbelastung


Kreisringscheibe

Einwirkende Schubspannung
Spannungen
Spannungen
Spannungen
τa = Schubbelastung au√üen (N/mm2)
τ i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
τa = Schubbelastung au√üen (N/mm2)
τ i = Schubbelastung innen (N/mm2)
r a = Außenradius (mm)
r i = Innenradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)

Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Bohrung


unendliche Scheibe

Innendruck in der Bohrung
Spannungen
Spannungen
Spannungen
qa = Streckenlast (N/mm)
p   = Druck in der Bohrung (N/mm¬≤)
h   = Scheibendicke (mm)
r i = Bohrungsradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)
qa = Streckenlast (N/mm)
p   = Druck in der Bohrung (N/mm¬≤)
h   = Scheibendicke (mm)
r i = Bohrungsradius (mm)
r   = Radius Spannungsort (mm)
σ r = Radialspannung (N/mm2)
σ t = Tangentialspannung (N/mm2)
τ rt = Schubspannung (N/mm2)


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Knickung

Elastische Knickung - Euler

Je nach Schlankheitsgrad des Stabes wird die Berechnung in elastische oder unelastische Knickung eingeteilt.
Bei schlanken St√§ben (λ > λp - elastischer Bereich) wird nach Euler gerechnet und bei gedrungenen St√§ben (λ < λp - unelastischer Bereich) nach Tetmajer bzw. Engesser.

Knickkraft und Knicklänge bei verschiedenen Lastfällen

Die Knickkraft ist die Kraft bei der das elastische Ausknicken beginnt.

Lastfall 1 Lastfall 2 Lastfall 3 Lastfall 4
Lastafall 1 Lastafall 2 Lastafall 3 Lastafall 4
lk = 2 * l lk = l lk = 0,7 * l lk = 0,5 * l
Lastafall 1 Lastafall 2 Lastafall 3 Lastafall 4
Fk = Knickkraft (N)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
I   = kleinstes axiales Tr√§gheitsmoment (mm4 )
l k = Knicklänge (mm)
l   = Stabl√§nge (mm)
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Knickspannung und Schlankheitsgrad

Die Knickspannung nach Euler ist von der Querschnittsform, Knicklänge und E-Modul abhängig, nicht von der Werkstofffestigkeit.
Knickung ist ein Stabilitätsproblem kein Spannungsproblem.

Schlankheitsgrad des Knickstabs
Schlankheitsgrad
Knickspannung in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad - Eulerformel
Eulerformel
Grenzschlankheitsgrad f√ľr die G√ľltigkeit der Eulerformel
Grenz-Schlankheitsgrad
Grenz-Schlankheitsgrad
Erforderliches Trägheitsmoment
Trägheitsmoment
λ  = Schlankheitsgrad (-)
l k = Knicklänge (mm)
i   = Tr√§gheitsradius (mm)
I   = kleinstes axiales Tr√§gheitsmoment (mm4 )
A   = Querschnitt (mm¬≤)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
λ p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
λ  = Schlankheitsgrad (-)
l k = Knicklänge (mm)
i   = Tr√§gheitsradius (mm)
I   = kleinstes axiales Tr√§gheitsmoment (mm4 )
A   = Querschnitt (mm¬≤)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)
λ p = Grenz-Schlankheitsgrad (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
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Unelastische Knickung - Tetmajer - Engesser

Bei Überschreiten der Proportionalitätsgrenze, gibt es keinen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung.
In diesem Bereich, wenn der Schlankheitsgrad λ < λ p ist, ist die Eulerformel nicht mehr g√ľltig.
F√ľr diese im unelastischen Bereich stattfindenden Knickung gibt es folgende Formeln:
- Tetmajerformel
- Engesserformel
Der Anstieg der Spannungs-Dehnungslinien √ľber der Streckgrenze, ist bei Tetmajer eine Gerade und bei Engesser durch einen Tangentenmodul ber√ľcksichtigt der durch die Streckgrenze begrenzt ist. Mit der Engesserformel erh√§lt man ein konservativeres Ergebnis (siehe Diagramm).

Knickspannung nach Tetmajer

Tetmajerformel
Werkstoff a b c
S235JR (St37) 0 -1,14 335
E295/E395 (St50/60) 0 -0,62 335
5% Ni-Stahl 0 -2,3 470
GG20 0,053 -12 775
Nadelholz 0 -0,194 29,3

Knickspannung nach Engesser

Engesserformel
Die Gleichung ist iterativ zu lösen.
σk = Knickspannung (N/mm2)
λ   = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c  = Berechnungsfaktoren (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)

σk = Knickspannung (N/mm2)
λ   = Schlankheitsgrad (-)
a - b - c  = Berechnungsfaktoren (-)
σ dp = Druck-Streckgrenze (N/mm2)
E   = E-Modul (N/mm¬≤)

Knickspannungsverlauf f√ľr S235JR (St37) nach Euler, Tetmajer und Engesser

Diagramm Knickspannung

Knicksicherheit

Knicksicherheit
Knicksicherheit
Sk = Knicksicherheit (-)
F k = Knickkraft (N)
F d = auftretende Druckkraft (N)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
σ d = Druckspannung (N/mm2)
A   = Querschnittsfl√§che (mm¬≤)
Sk = Knicksicherheit (-)
F k = Knickkraft (N)
F d = auftretende Druckkraft (N)
σ k = Knickspannung (N/mm2)
σ d = Druckspannung (N/mm2)
A   = Querschnittsfl√§che (mm¬≤)
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