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Formelsammlung und Berechnungsprogramme
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Update:  28.11.2022

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Hydromechanik Hydromechanik

Das Fachbuch klärt den Leser kompetent und nachvollziehbar über die Grundlagen der Hydromechanik auf.



Wassertechnik Gerinneströmung

Das Fachbuch vermittelt das Grundwissen des konstruktiven Wasserbaus im Binnenland.


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Hydrostatik

Hydrostatik - Gerinne

Kolbendruck

Der auf Kolben oder Stempel wirkende Druck, wird Kolbendruck oder Stempeldruck genannt.


Formel Kolbendruck
Bild Kolbendruck
p  = Kolbendruck (Pa)
F  = Kolbenkraft (N)
A  = Kolbenfläche (m2)
p  = Kolbendruck (Pa)
F  = Kolbenkraft (N)
A  = Kolbenfläche (m2)
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Hydraulische Presse

Bei der hydraulischen Presse sind ein Druckkolben und ein Arbeitskolben über eine gemeinsame Leitung verbunden. Mit einer kleinen Kraft am Druckkolben kann eine große Kraft am Arbeitskolben erzeugt werden.


Die Kolbenkräfte verhalten sich wie die Kolbenflächen bzw. Quadrate der Kolbendurchmesser.

Formel Hydraulische Presse

Die Kolbenhübe verhalten sich umgekehrt wie die Kolbenflächen bzw. die Quadrate der Kolbendurchmesser.

Formel Hydraulische Presse
Bild Hydraulische Presse
F1 = Kraft Druckkolben (N)
F2 = Kraft Arbeitskolben (N)
d1 = Durchmesser Druckkolben (m)
d2 = Durchmesser Arbeitskolben (m)
A1 = Fläche Druckkolben (m2)
A2 = Fläche Arbeitskolben (m2)
s1 = Weg Druckkolben (m)
s2 = Weg Arbeitskolben (m)
F1 = Kraft Druckkolben (N)
F2 = Kraft Arbeitskolben (N)
d1 = Durchmesser Druckkolben (m)
d2 = Durchmesser Arbeitskolben (m)
A1 = Fläche Druckkolben (m2)
A2 = Fläche Arbeitskolben (m2)
s1 = Weg Druckkolben (m)
s2 = Weg Arbeitskolben (m)
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Druckübersetzung - Druckumwandlung

Bei der Druckübersetzungen bzw. Druckumwandlung verhält sich der Betriebsdruck umgekehrt proportional zu den wirksamen Kolbenflächen.
Das bedeutet ein Druck oder eine Kraft wird mit Hilfe eines hydraulischen Systems verstärkt oder verringert.


Druckübersetzung über Medium

Formel Druckübersetzung
Bild Druckübersetzung

Druckübersetzung über Kolbenstange

Formel Druckübersetzung
Bild Druckübersetzung
F1 = Kraft Druckkolben (N)
F2 = Kraft Arbeitskolben (N)
d1 = Durchmesser Druckkolben (m)
d2 = Durchmesser Arbeitskolben (m)
A1 = Fläche Druckkolben (m2)
A2 = Fläche Arbeitskolben (m2)
s1 = Weg Druckkolben (m)
s2 = Weg Arbeitskolben (m)
F1 = Kraft Druckkolben (N)
F2 = Kraft Arbeitskolben (N)
d1 = Durchmesser Druckkolben (m)
d2 = Durchmesser Arbeitskolben (m)
A1 = Fläche Druckkolben (m2)
A2 = Fläche Arbeitskolben (m2)
s1 = Weg Druckkolben (m)
s2 = Weg Arbeitskolben (m)
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Druckarbeit


Druckarbeit bei Erzeugung des Kolbendrucks.

Formel Druckarbeit

Bei konstantem Druck p ist die Druckarbeit W gleich dem Produkt aus Druck p und der Volumenänderung dV

Formel Druckarbeit konstanter Druck

Ändert sich der Druck (Pressarbeit) berechnet sich die Druckarbeit wie folgt.

Formel Druckarbeit geänderter Druck
W = Druckarbeit (J)
F2 = Kolbenkraft (N)
ds = Kolbenweg (m)
p = Flüssigkeitsdruck (Pa)
dV = Volumenänderung (m3)
βT = isothermer Kompressibilitäts-Koeffizient(1/Pa)
V1 = Volumen bei Druck p1 (m3)
p1 = Anfangsdruck (Pa)
p2 = Enddruck (Pa)
W = Druckarbeit (J)
F2 = Kolbenkraft (N)
ds = Kolbenweg (m)
p = Flüssigkeitsdruck (Pa)
dV = Volumenänderung (m3)
βT = isothermer Kompressibilitäts-Koeffizient(1/Pa)
V1 = Volumen bei Druck p1 (m3)
p1 = Anfangsdruck (Pa)
p2 = Enddruck (Pa)
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Hydrostatischer Druck - Schweredruck

Der hydrostatische Druck, auch Gravitationsdruck oder Schweredruck, ist der Druck, der sich innerhalb eines ruhenden Fluides, das ist eine Flüssigkeit oder ein Gas, durch den Einfluss der Gravitation einstellt.


Absoluter Hydrostatischer Druck in der Tiefe h

Formel Hydrostatischer Druck
Bild Hydrostatischer Druck
p(h) = Druck in Abhängigkeit von der Höhe (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = Höhe der Flüssigkeitssäule (m)
p0 = Atmosphärischer Druck über der Flüssigkeitssäule (Pa)
p(h) = Druck in Abhängigkeit von der Höhe (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2)
h = Höhe der Flüssigkeitssäule (m)
p0 = Atmosphärischer Druck über der Flüssigkeitssäule (Pa)

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Hydrostatisches Paradoxon

Der hydrostatische Druck hängt nicht von der Form eines Gefäßes ab. Entscheidend für den Druck am Boden ist alleine die Höhe des Fluid- bzw. Flüssigkeitsspiegels und dessen Dichte. Die absolute Menge des Fluides im Gefäß ist nicht maßgebend.

Bild Hydrostatisches Paradoxon
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Kommunizierende Röhren

Als kommunizierende Röhren oder kommunizierende Gefäße bezeichnet man oben offene, aber unten miteinander verbundene Gefäße. Eine homogene Flüssigkeit steht in ihnen gleich hoch, weil die Schwerkraft und der Luftdruck konstant sind.

Bild Kommunizierende Röhren
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Saughöhe von Flüssigkeiten

Die geodätische Saughöhe ist die maximale Höhe, bei der Wasser durch Pumpen angesaugt werden kann, ohne dass das Wasser Verdampft.
Diese maximale Höhe beträgt durch Reibung in der Saugleitung in der Pumpentechnik bei maximal 7 m bis ca. 8 m.


Formel Saughöhe
hS = Saughöhe (m)
p0 = Atmosphärischer Druck auf die Flüssigkeit (Pa)
pS = Saugdruck am Pumpengehäuse (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
hS = Saughöhe (m)
p0 = Atmosphärischer Druck auf die Flüssigkeit (Pa)
pS = Saugdruck am Pumpengehäuse (Pa)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
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Bodendruckkraft durch Schweredruck

Den Druck in einer Flüssigkeit, der infolge der Gewichtskraft einer darüber liegenden Flüssigkeitssäule entsteht, nennt man Schweredruck.


- bei offenem Behälter

Formel Bodenkraft offenem Behälter

- bei geschlossenem Behälter mit Überdruck

Formel Bodenkraft geschlossenem Behälter
Bild Bodenkraft
Fb = Bodenkraft (N)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
h = Höhe der Flüssigkeitssäule (m)
Ab = Bodenfläche (m2)
pi,ü = innerer Überdruck (Pa)
Fb = Bodenkraft (N)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
h = Höhe der Flüssigkeitssäule (m)
Ab = Bodenfläche (m2)
pi,ü = innerer Überdruck (Pa)
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Seitendruckkraft

Horizontale Seitendruckkraft

Die Größe der Seitendruckkraft wird im Flächenschwerpunkt F der Seite ermittelt.
Wegen des mit der Tiefe lineare zunehmenden Schweredrucks, ergibt sich eine ungleichförmige Druckverteilung über der gedrückten Fläche. Die Kraft greift deshalb nicht im Flächenschwerpunkt S, sondern im tiefer liegenden Druckmittelpunkt D an.


Formel Horizontale Seitendruckkraft
Bild Horizontale Seitendruckkraft
FS,h = horizontale Seitendruckkraft (N)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
hS = vertikaler Abstand Flächenschwerpunkt zum Flüssigkeitsspiegel (m)
yS = projizierter Abstand Flächenschwerpunkt zum Flüssigkeitsspiegel (m)
Ap = projizierte Seitenfläche (m2)
α = Neigung der Seitenfläche (Grad)
yD = projizierter Abstand Druckmittelpunkt zum Flüssigkeitsspiegel (m)
e = Abstand Flächenschwerpunt zu Druckmittelpunkt (m)
Is = Flächenmoment 2. Grades (m4)
FS,h = horizontale Seitendruckkraft (N)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
hS = vertikaler Abstand Flächenschwerpunkt zum Flüssigkeitsspiegel (m)
yS = projizierter Abstand Flächenschwerpunkt zum Flüssigkeitsspiegel (m)
Ap = projizierte Seitenfläche (m2)
α = Neigung der Seitenfläche (Grad)
yD = projizierter Abstand Druckmittelpunkt zum Flüssigkeitsspiegel (m)
e = Abstand Flächenschwerpunt zu Druckmittelpunkt (m)
Is = Flächenmoment 2. Grades (m4)
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Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment verschiedener symmetrischer Flächen


Flächenform Fläche A Abstand LS Trägheitsmoment IS
Rechteck Bild Rechteck Formel LS Rechteck Formel IS Rechteck Formel
Kreis Bild Kreis Formel LS Kreis Formel IS Kreis Formel
Halb-Kreis Bild Halb-Kreis Formel LS Halb-Kreis Formel IS Halb-Kreis Formel
Trapez Bild Trapez Formel LS Trapez Formel IS Trapez Formel
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Vertikale Seitendruckkraft - Aufdruckkraft

Die aufwärts gerichtete Seitendruckkraft, entspricht einer scheinbaren Gewichtskraft G, die eine Flüssigkeitssäule der Höhe Δh und der Druckfläche AD entspricht.


Formel vertikale Seitendruckkraft
Bild vertkale Seitendruckkraft
FS,v = vertikale Seitendruckkraft (N)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
Δh = vertikaler Abstand Flächenschwerpunkt zum Flüssigkeitsspiegel (m)
AD = vertikale Seitenfläche (m2)
FS,v = vertikale Seitendruckkraft (N)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
Δh = vertikaler Abstand Flächenschwerpunkt zum Flüssigkeitsspiegel (m)
AD = vertikale Seitenfläche (m2)
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Auftrieb und Schwimmen

Ob ein Körper sinkt, schwebt, steigt oder schwimmt, hängt vom Verhältnis zwischen seiner Gewichtskraft und der auf ihn in entgegengesetzter Richtung wirkenden Auftriebskraft ab. Diese Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Flüssigkeits- oder Gasmenge.
Der statische Auftrieb eines vollständig in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers ist gleich der Gewichtskraft des verdrängten Flüssigkeitsvolumens.


Formel Auftrieb
Bild Auftrieb
FA = Auftriebskraft (N)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
V = verdrängtes Flüssigkeitsvolumen (m3)
FG = Gewichtskraft (N)
ρK = Dichte des Körpers (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
VK = Körpervolumen (m3)
FA = Auftriebskraft (N)
ρ = Dichte des Mediums (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
V = verdrängtes Flüssigkeitsvolumen (m3)
FG = Gewichtskraft (N)
ρK = Dichte des Körpers (kg/m3)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
VK = Körpervolumen (m3)
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Strömung in Gerinnen


Geschwindigkeitsverteilung

Die Geschwindigkeitsverteilung in Gerinnen ist im Gegensatz zum Kreisquerschnitt asymmetrisch.
An den Kanalwänden und der -sohle ist die Geschwindigkeit null. Die maximale Geschwindigkeit liegt etwas unterhalb des Wasserspiegels bei ca. 4/5 der Kanaltiefe.


Mittlere Geschwindigkeit

Formel Mittlere Geschwindigkeit

Gerinne

 Bild Mittlere Geschwindigkeit

Rohrquerschnitt

w = mittlere Geschwindigkeit (m/s)
V = Volumenstrom (m3/s)
A = Kanalquerschnitt senkrecht zur Strömungsrichtung (m2)
w = mittlere Geschwindigkeit (m/s)
V = Volumenstrom (m3/s)
A = Kanalquerschnitt senkrecht zur Strömungsrichtung (m2)
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Fließformeln

Bei der Fließformel betrachtet man die Kanalströmung als eine Rohrströmung. Bei dem nicht kreisförmigen Querschnitt berücksichtigt man, dass nur ein Teil des Querschnittsumfangs ein benetzter Umfang ist der beim hydraulischen Durchmesser berücksichtigt wird.
Die Höhendifferenz z1 - z2 dient zur Überwindung der Reibungsverluste hv.


Reibungsverlust der Höhe nach Darcy-Weisbach

Formel Reibungsverluste

Fließgefälle

Formel Fließgefälle
λ = Kanalreibungszahl (-)
l = Länge des Kanals (m)
w = mitl. Fließgeschwindigkeit (m/s)
dh = hydraulischer Kanaldurchmesser (m)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2)
IE = Fließgefälle (-)
λ = Kanalreibungszahl (-)
l = Länge des Kanals (m)
w = mitl. Fließgeschwindigkeit (m/s)
dh = hydraulischer Kanaldurchmesser (m)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2)
IE = Fließgefälle (-)
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Kanalreibungszahl

Ist das Gerinne ausreichend breit, ähnelt das Geschwindigkeitsprofil in vertikaler Richtung dem der Strömung an der Wand. Die Kanalreibungszahl kann dann nach Colebrook-White ermittelt werden.


Kanalreibungszahl

Formel Kanalreibungszahl

Hydraulischer Durchmesser

Formel Hydraulischer Durchmesser
λ = Kanalreibungszahl (-)
Re = Reynoldszahl (-)
k = Wandrauigkeitswert (m)
dh = Hydraulischer Kanaldurchmesser (m)
A = Kanalquerschnitt (m2)
U = Benetzter Umfang (m)
Der benetzte Umfang ist das wasserführende Kanalbett.
Bild Hydraulischer Durchmesser
λ = Kanalreibungszahl (-)
Re = Reynoldszahl (-)
k = Wandrauigkeitswert (m)
dh = Hydraulischer Kanaldurchmesser (m)
A = Kanalquerschnitt (m2)
U = Benetzter Umfang (m)
Der benetzte Umfang ist das wasserführende Kanalbett.
Bild Hydraulischer Durchmesser
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Mittlere Kanalgeschwindigkeit

Die Fließformel stellt einen Zusammenhang zwischen mittlerer Geschwindigkeit bzw. dem Durchfluss, der Rauigkeit und dem Energiegefälle her.


Mittlere Kanalgeschwindigkeit

Formel Kanalgeschwindigkeit
w = mittl. Geschwindigkeit (m/s)
V = Volumenstrom (m3/s)
g = Erdbeschleunigung 9,81 (m/s2) -
IE = Fließgefälle (-)
Re = Reynoldszahl (-)
dh = Hydraulischer Kanaldurchmesser (m)
k = Wandrauigkeitswert (m)
A = Kanalquerschnitt (m2)
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Fließformel nach Chézy

Die Fließformel nach Chézy ist eine ältere empirische ermittelte Formel.


Mittlere Kanalgeschwindigkeit

Formel Kanalgeschwindigkeit Chezy

Fließgefälle

Formel Fließgefälle Chezy

Beiwert nach Bazin

Formel Beiwert Chezy
w = mittl. Geschwindigkeit (m/s)
KCh = Beiwert (-)
rh = Hydraulischer Radius (m) - siehe unten
J = Fließgefälle (-)
α = Beiwert siehe Tabelle unten (-)
w = mittl. Geschwindigkeit (m/s)
KCh = Beiwert (-)
rh = Hydraulischer Radius (m) - siehe unten
J = Fließgefälle (-)
α = Beiwert siehe Tabelle unten (-)

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Beiwerte α für obige Fließformel


KanalwandBeiwert α (m1/2) KanalwandBeiwert α (m1/2)
gehobeltes Holz
Zementglattstrich
glatte Metallfläche
-0,043 ungehobeltes Bretter
glatt verputzter Beton
0,044
Quaderwände0,17 sorgfältig ausgeführtes Bruchsteinmauerwerk0,31
normales Bruchsteinmauerwerk
gut verschalter unverputzter Beton
0,48 unbefestigte Erdsohle
feiner Kies mit Sand
grobes Bruchsteinmauerwerk
0,85
Böschung und Sohle in Erde1,3 unregelmäßige Wandungen
rau aus dem Fels gesprengt
2,1

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Fließformel nach Manning-Stickler

Die Fließformel nach Manning-Stickler wird wegen ihrer einfachen Handhabung weit verbreitet.


Mittlere Kanalgeschwindigkeit

Formel Kanalgeschwindigkeit MS

Fließgefälle

Formel Fließgefälle MS
w = mittl. Geschwindigkeit (m/s)
KMS = Beiwert (-) - siehe Tabelle
rh = Hydraulischer Radius (m) - siehe unten
J = Fließgefälle (-)
w = mittl. Geschwindigkeit (m/s)
KMS = Beiwert (-) - siehe Tabelle
rh = Hydraulischer Radius (m) - siehe unten
J = Fließgefälle (-)

Beiwerten KMSfür obige Fließformel (nach Naudascher)


GerinntypBeiwert KMS (m1/2) GerinntypBeiwert KMS (m1/2)
Erdkanäle Gemauerte Kanäle
- in festem Material60 - Ziegelmauerwerk, Klinker80
- mit Sohle und Sand45-50 - Bruchsteinmauerwerk70-80
- aus Feinkies 10/20/30 mm45 - Mauerwerk60
- aus mittlerem Kies 20/40/60 mm40 - Bruchsteinmauerwerk behauene Steine60
- aus Grobkies 50/100/150 mm35 - grobes Bruchsteinmauerwerk50
- aus Sand, Lehm25-30 - Bruchsteinwände, gepflasterte Böschungen45-50
Betonkanäle Holzgerinne
- Zementglattstrich100 - neue glatte Gerinne95
- Glattverputz90-95 - gehobelte, gut gefügte Bretter90
- Beton geglättet90 - ungehobelte Bretter80
- Stampfbeton mit glatter Oberfläche60-65 - ältere Holgerinne65-70
- alter Beton, unebene Fläche60 Blechgerinne
- Grobe Betonauskleidung55 - glatte Rohre90-95
- ungleichmäßige Betonflächen50 - neue gusseiserne Rohre90
- Beton bei Stahlschalung90-100 - Rohr mit nicht versenkten Nieten65-70
Felskanäle Natürliche Wasserläufe
- mittelgrober Felsausbruch25-30 - mit fester Sohle40
- Felsausbruch bei Sprengung20-25 - Flussbett verkrautet30-35
- grober Felsausbruch15-20 - Wildbach mit grobem Geröll25-28

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Hydraulischer Radius

Der hydraulische Radius ist ähnlich wie der hydraulische Durchmesser definiert und wird zur Berechnung von Strömungen in offenen Gerinnen angewendet.


Kanalform Rechteck trapez dreieck kreis
Breite B (m) Rechteck B trapez B dreieck B kreis B
Mittlere
Wassertiefe (m)
Rechteck h trapez h dreieck h kreis h
Querschnittsfläche (m2) Rechteck a trapez a dreieck a kreis a
Benetzter Umfang (m) Rechteck u trapez u dreieck u kreis u
Hydraulischer Radius (m) Rechteck r trapez r dreieck r kreis r

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